Epicicli e Deferenti, l'analisi di Fourier ante litteram

Non avevo mai pensato al fatto che la teoria utilizzata da Tolomeo (e ideata molto tempo prima da Apollonio di Perga) per descrivere i movimenti degli erranti, concepita come una sovrapposizione di Epicicli e Deferenti, sia sostanzialmente una descrizione del moto che fa uso del teorema di Fourier e quindi della sua capacità di approssimare quanto si vuole qualunque moto periodico. Tecnicamente una bella pensata (sebbene il teorema di Fourier sia stato enunciato e dimostrato molto tempo dopo) ma dal punto di vista scientifico è semplicemente un ottimo trucco per far tornare le cose, per quanto complicate esse si presentino.

Il sistema geocentrico ha il problema di descrivere e dare un senso al moto un po' bizzarro dei pianeti (gli erranti, appunto). Questi seguono sulla sfera celeste una traiettoria che li porta periodicamente ad invertire il senso di marcia (moto retrogado), al contrario di sole e luna che invece procedono sempre nella stessa direzione. Per ottenere questo comportamento si pensò di concepire il loro moto come la combinazione di due moti distinti, quello di un punto sul cerchio principale che si muove sulla sfera celeste, detto deferente, e quello effettivo del pianeta su un cerchio secondario che ruota attorno al primo punto, detto epiciclo. In altre parole il pianeta si muove sull'epiciclo e il centro dell'epiciclo si muove sul deferente. Il moto risultante dal sistema Epiciclo-Deferente approssima abbastanza bene il moto osservato del pianeta.

Se questo meccanismo non descriveva in modo troppo accurato la traiettoria effettiva del pianeta si poteva provare ad aggiungere un altro epiciclo, e poi ancora un altro, e così via. Il moltiplicarsi di epicicli rendeva il modello sempre più complicato ma riusciva a migliorare l'approssimazione del moto realmente osservato.

Il metodo descritto però non è altro che l'equivalente della capacità di approssimare una qualunque funzione periodica del tempo tramite una opportuna somma di funzioni sinusoidali. Questa capacità è stata dimostrata in generale da Joseph Fourier (1768-1830) nei primi anni dell'ottocento e costituisce un risultato importantissimo e largamente utilizzato in molti settori della scienza e della tecnologia. Le proiezioni sulla sfera celeste del moto del pianeta sugli epicicli non sono altro che le funzioni sinusoidali approssimanti. Peraltro la serie di Fourier è rapidamente convergente, significa che si riesce ad ottenere in genere una buona approssimazione con pochi termini.

Probabilmente quello che soddisfaceva all'epoca in questa descrizione era, oltre ovviamente la sua capacità di approssimare bene i moti osservati, l'uso sistematico del cerchio (o della sfera) come  metafora della perfezione celeste, in un movimento che nel suo complesso di perfezione geometrica ne aveva ben poca. Immagino però che si siano resi conto che il metodo poteva arrivare a giustificare qualsiasi moto, anche senza avere una solida conoscenza matematica alle spalle. Certamente dal punto di vista scientifico il suo peggior difetto era quello di essere solo una buona descrizione cinematica senza una vera interpretazione fisica (meccanica) del moto.

Forse è anche per questo che la pubblicazione dell'opera di Copernico (1543) sotto certi punti di vista non cambiava molto le cose. Ovvero, nell'ottica di formulare artifici matematici per descrivere il moto degli oggetti del cielo, quello di cambiare drasticamente il modello pensando al centro il Sole anzichè la Terra poteva essere presentato e considerato come un'ipotesi di calcolo. Dalla sua parte il nuovo modello aveva solamente (ma significativamente) una maggiore semplicità. Sono state le sue integrazioni con le osservazioni successive e la fisica sviluppata più di cinquant'anni dopo a dare una forza decisiva al modello eliocentrico, e a scatenare parallelamente l'ostilità della Chiesa Cattolica per le sue implicazioni filosofiche.

Chi si è impegnato all'epoca a studiare e a perfezionare il modello degli epicicli e deferenti avrebbe forse dovuto abbandonare la pretesa di dare una descrizione significativa del moto dei pianeti e concentrarsi invece sulla tecnica matematica che stava utilizzando, rivelatasi molto tempo dopo di gran lunga più importante per gli sviluppi della scienza. Si, ok, si fa presto a parlare ....

Gli Influencers e la famiglia del Mulino Bianco

Questa mattina ho letto la notizia che Chiara Ferragni (l'influencer italiana più celebre al mondo, 22.5 milioni di follower su Instagram) ha pubblicato sui social la foto della figlia appena nata che indossa un cappellino. Non un cappellino qualunque, è quello della collezione Chiara Ferragni Brand, che sarà disponibile a maggio. Sei milioni di like.

I cosiddetti influencers, ovvero quelle persone che si arricchiscono costruendo un profilo su un social (tipicamente Instagram) che raccoglie un numero spropositato di followers, non sono nient'altro che dei potenti veicoli pubblicitari. Per esserlo in modo efficacie devono in qualche modo costruire un personaggio pubblico di successo, un'immagine di persona felice e realizzata, allo stesso modo in cui i pubblicitari costruiscono spot che veicolano prodotti associandoli ad immagini accattivanti, ad atmosfere sognanti, cornici patinate, contesti affascinanti. Un po' come la famosa famiglia del Mulino Bianco di un po' di anni fa.

Ma c'è una differenza significativa tra le due cose. La famiglia del Mulino Bianco era chiaramente finta, il risultato di uno spot pubblicitario ben studiato dagli autori e ben interpretato da attori (ci sono ancora oggi tanti esempi di questo tipo). Di fronte ad una cosa del genere è abbastanza facile mantenere un atteggiamento critico e prendere le distanze.

Gli influencers invece appaiono come persone vere, e questo dà una potenza del tutto nuova ai loro messaggi pubblicitari. Appaiono come modelli di vita reali e i loro suggerimenti espliciti o impliciti hanno una forza particolare. In realtà anche gli influencers sono finti, nel senso che una cosa sono i profili Instagram costruiti ad arte per rappresentare una realtà fittizia ma funzionale ai messaggi che si propone di veicolare, e una cosa sono le persone che ci sono dietro. Ma il punto è che nel mondo dei social è quasi sempre così. Anche gli utenti costruiscono nei loro profili una rappresentazione parziale e falsata della loro vita. In questo modo l'identificazione tra il consumatore e il prodotto a lui destinato è praticamente completa, raggiungendo il massimo della sua efficacia e rendendo molto più difficile nel consumatore quell'atteggiamento critico che può difenderlo.

La bambina pubblicata su Instagram è un media pubblicitario prima ancora di essere una persona. Per non parlare dei milioni di target pubblicitari che la seguono.

Un'osservazione sul matrimonio religioso

Il matrimonio religioso (per noi quello cattolico) è molto spesso un fatto di forma. Nella nostra società secolarizzata l'elemento sacramentale del matrimonio è sempre di più un elemento di contorno, come d'altra perte lo sono anche i significati di molte festività religiose. Questo però in un certo senso non è così strano, in quanto l'elemento religioso secondo me è comunque un elemento sovrapposto al valore sociale del matrimonio. 

La creazione di un nuovo nucleo familiare è un fatto sociale, che entro certi limiti deve assumere una veste pubblica. Si tratta di un piccolo nucleo sociale (la famiglia) che però è inserito (insieme a tanti altri nuclei) in un ambito sociale più ampio, la comunità. Per noi oggi la comunità ha dei contorni molto sfumati, raggiunge la cerchia di parenti e amici che si frequentano a vario titolo nel momento in cui si organizza la festa. Le nostre società da tempo non hanno più una dimensione tribale, se si escludono alcune realtà di paese o di villaggio che ancora si possono individuare e che ancora un po' ci somigliano.

Direi che ci si sposa per avere dei "testimoni certi" all'evento di creazione di una nuova famiglia, e lo si fa organizzando una festa al meglio delle proprie possibilità, proprio perchè a distanza di anni non venga dimenticata da nessuno. La testimonianza sociale giustifica le dimensioni in un certo senso pubbliche dell'evento.

Con questi scopi e caratteristiche che la definiscono cosa c'è di meglio che unirsi in modo simbolico di fronte alla divinità riconosciuta da tutti, denominatore comune fondamentale della cultura di una comunità? Da qui nasce l'esigenza per la chiesa di impossessarsi di un evento così importante. Dunque il significato religioso si sovrappone a quello che effettivamente giustifica il matrimonio. O forse, per dirla meglio, entra in simbiosi con esso, confermando la funzione di forte coesione sociale che le religioni hanno sempre avuto.

Credo però che nelle nostre società moderne si stia diffondendo la pratica del matrimonio civile o "finto-religioso", che non nega la funzione principale del matrimonio così come l'ho descritta sopra ma la scollega dal fatto religioso, di valore ormai probabilmente secondario, non strettamente necessario in quanto la comunità non lo riconosce più come elemento supremo di identità culturale.

Ma dov'è Königsberg?

Mio figlio ha cominciato a studiare Kant a scuola. E ci ha riportato qualche notizia biografica, tra cui il fatto che è nato e sempre vissuto a Königsberg. Un fatto risaputo, come l'aneddoto che gli abitanti di Königsberg regolassero gli orologi sul suo passaggio, durante la sua passeggiata quotidiana. Ci abbiamo scherzato su.

Königsberg però è una città storica molto importante, e non è solo la città di Kant, è anche quella che ha dato i natali a David Hilbert (i suoi 23 problemi per la matematica del nuovo secolo, il novecento, oggi quasi tutti risolti), a Christian Goldbach (la sua congettura sulla teoria dei numeri, ad oggi rimasta ancora tale), a Gustav Robert Kirchoff (le sue leggi sui circuiti elettrici). Nella sua università ha insegnato Hermann Minkowski (la sua introduzione dello spazio-tempo quadridimensionale nella trattazione della teoria della relatività di Einstein). Nel 1930 ha ospitato una tavola rotonda a margine della Seconda Conferenza sull'Epistemologia delle Scienze Esatte, in cui Kurt Gödel per la prima volta ha enunciato il primo dei suoi due teoremi di incompletezza alla presenza di John von Neumann.

E poi E.T.A. Hoffmann, dai cui racconti sono nate importanti opere musicali, come la Kreisleriana di Robert Schumann e Lo Schiaccianoci di Pëtr Il'ic Cajkovskij. E Bruno Taut, architetto molto attivo a Berlino nel primo novecento.

Ma dov'è Königsberg? Non l'ho mai saputo. Una città tedesca? A sud o a nord? Nella parte rimasta in mano al mondo occidentale o in quella finita sotto il blocco comunista? 

Scopro che non si chiama più Königsberg (ora mi sembra di ricordare che questa cosa l'avevo già letta). La seconda guerra mondiale l'ha distrutta e l'ha tolta al vecchio impero prussiano a cui apparteneva ai tempi di Kant. Adesso si chiama Kaliningrad, nome datole dai sovietici all'indomani della sua conquista, in onore di Kalinin, rivoluzionario bolscevico. È stato ed è tuttora uno dei più importanti porti affacciati sul mar Baltico. È territorio russo, più precisamente e curiosamente è in una exclave russa, ovvero in un territorio appartenente alla Russia ma circondato da altri stati (Polonia, Lituania, Bielorussia). Negli anni la popolazione tedesca è progressivamente diminuita, in parte brutalmente cacciata dopo la seconda guerra mondiale, a favore di quella russa, che ha imposto ovviamente un cambio di lingua. Anche il volto della città, completamente ricostruita nel dopoguerra, è molto cambiato. La Königsberg città Prussiana non esiste più.

Sfrutto la tecnologia (Google maps e street view) per fare un giro turistico della città. Vado a visitare la tomba di Kant, posta di fianco alla cattedrale ricostruita, entrambe immerse in un parco circondato dal fiume Pregel. In effetti si tratta di un'isola, un po' come la nostra isola Tiberina. È questa la particolarità più significativa della città storica, dalla quale è nato un problema apparentemente frivolo ma in realtà importante, anche per gli sviluppi a cui ha dato seguito. 

Il fiume Pregel si divide in due rami per formare una piccola isola e poi riparte dividendosi ancora in due rami (ora che guardo meglio su Google maps mi rendo conto che il percorso del fiume verso il mare è esattamente l'opposto di quello che sto raccontando). Il risultato è che nel centro della città così divisa dai rami del fiume si distinguono quattro lembi di terra. Ai tempi di Kant questi lembi erano collegati insieme da sette ponti (li ho cercati, ma non li trovo più tutti). Partendo da un lembo qualunque si potevano raggiungere tutti gli altri passando opportunamente per questi ponti. 

La popolazione di Königsberg (forse anche Kant, durante le sue passeggiate pomeridiane?) aveva elaborato un simpatico passatempo. Si trattava di fare una passeggiata che a partire da un qualunque lembo di terra riportasse nello stesso punto attraversando tutti e sette i ponti una sola volta. C'era chi affermava che fosse possibile, e di averlo effettivamente fatto la sera tardi dopo aver mangiato e soprattutto bevuto ad una delle tante confortevoli gasthaus della città, ma di non ricordarsi più bene al mattino dopo come ci fosse riuscito. 

Il simpatico passatempo era diventato un vero e proprio problema, tanto da attirare l'attenzione del più grande matematico dell'epoca, Leonard Euler. La sua soluzione (1736) rappresenta l'atto di nascita di due importanti branche della matematica, tra loro collegate, la teoria dei grafi e la topologia. Ma a parte la sua importanza storica questa soluzione è un grande esempio di quanto possa essere potente ed efficace la capacità di astrazione, tipico ingrediente del ragionamento matematico. 

Nel determinare la soluzione del problema Euler lo spoglia di tutti i dettagli inutili, in particolare di tutti i dettagli geometrici che apparentemente potrebbero sembrare importanti. La geometria del problema non è di alcuna utilità. Quanto sono grandi i lembi di terra collegati dai ponti? Quanto sono distanti tra di loro i ponti? Dove sono posizionati esattamente? Tutte queste domande che fanno riferimento agli aspetti geometrici del problema non sono pertinenti per determinare la sua soluzione. E' informazione inutile, addirittura fuorviante, quindi da eliminare. Euler traduce la mappa reale del luogo in un oggetto che verrà piu tardi chiamato "grafo", dove i lembi di terra sono ridotti a semplici punti del piano e i ponti diventano archi che li collegano. Questo oggetto rappresenta tutto quello che serve, non è neppure importante come siano disposti i punti disegnati nel piano. L'unica cosa veramente importante è come sono collegati tra loro. Con davanti un'astrazione del genere è più facile ragionare, e il ragionamento molto semplice è questo. Il problema della passeggiata si traduce nel partire da un punto del grafo e tornarci dopo aver percorso tutti gli archi una sola volta. Se voglio far questo il punto in questione deve avere necessariamente un numero pari di archi poiché ogni volta che esco con un arco devo poter rientrare con un altro arco, altrimenti dovrò percorrere almeno un arco per due volte. Ma il grafo in questione mostra chiaramente che tutti i suoi punti hanno un numero dispari di archi. Dunque il problema dei ponti di Königsberg semplicemente non ha soluzione, e chi sosteneva di aver fatto quella passeggiata aveva chiaramente esagerato con l'alcool.

Il ragionamento astratto di Euler non solo ha aperto la strada a discipline matematiche oggi fondamentali (questo potrebbe suonare come un contributo a cose estremamente specialistiche, che con la cultura media non hanno niente a che fare) ma ci ha lasciato anche una forma di rappresentazione che ci torna utile quotidianamente a tutti. Basti pensare alle mappe delle metropolitane cittadine. Nella maggior parte dei casi, soprattutto quelli delle reti metropolitane più complesse, una rappresentazione geometricamente fedele, che rispettasse cioè le proporzioni geometriche e le posizioni relative delle stazioni, sarebbe impossibile e del tutto inutile. Il problema per la prima volta si presentò con la metropolitana di Londra, la più antica del mondo, e oggi tra le più complesse. Harry Beck, nel 1931, propose una rappresentazione topologica, basandosi esattamente sugli stessi principi della rappresentazione di Euler. Le stazioni sono punti, e ciò che conta non è rispettare la realtà di come siano disposte tra loro ma solo mostrare come sono collegate. Da quel momento "la mappa di Beck" viene regolarmente utilizzata in molte mappe di reti metropolitane.

Qualche anno fa, durante un viaggio turistico in Polonia, sono arrivato fino a Danzica, a poco più di centocinquanta chilometri da Königsberg. Me ne accorgo solo adesso, guardando su google maps. Comunque avrei dovuto sconfinare in territorio russo, e non avrei potuto farlo. D'altra parte non esistono neanche più tutti i sette famosi ponti ....