Dei cinque solidi platonici la cosa che mi ha sempre incuriosito è proprio il fatto che sono solo cinque. E che non possono essere di più. Perché? Mi è sempre sembrata la domanda più interessante su questi oggetti della storia greca. E' chiaro che ci deve essere un motivo ben preciso. Per dire, anche i sette nani sono sette, ma non mi pare così intelligente domandarsi perché. Nel caso dei solidi platonici invece la domanda è significativa, e deve discendere da qualche proprietà costruttiva che caratterizza questi solidi e che costituisce anche un vincolo preciso al loro numero massimo.
Ovviamente tutto sta nella definizione, e in quello che ne consegue. Un solido platonico è un poliedro convesso regolare. Un poliedro è una porzione di spazio tridimensionale delimitata da un numero finito di facce poligonali (un cilindro non è un poliedro). E' convesso quando presi due suoi punti qualunque il segmento che li unisce è interamente contenuto in esso (una "stella" non è convessa). E' regolare quando le sue facce sono poligoni regolari tutti congruenti (i poligoni regolari sono poligoni convessi equilateri ed equiangoli) e anche i suoi angoloidi (regioni di spazio delimitate da tre o più facce che convergono nello stesso vertice) sono tutti congruenti (un "pallone da calcio", tecnicamente un icosaedro troncato, non è regolare, avendo facce di diverso tipo, pentagonali ed esagonali).
Dunque in sintesi per costruire un solido platonico devo partire da un certo numero di poligoni regolari congruenti (tutti identici) e comporli assieme in una figura chiusa convessa con tutti i suoi angoloidi uguali. I poligoni regolari che posso considerare sono triangoli equilateri, quadrati, pentagoni, esagoni, eptagoni, ottagoni, ecc.
Se voglio cominciare a costruirlo devo subito osservare che mi servono almeno tre facce (poligoni regolari) per cominciare a costruire un primo angoloide, con due sole facce non è possibile farlo. Devo poi proseguire ad agganciare progressivamente altre facce uguali facendo in modo che si formino sempre angoloidi uguali fino ad ottenere una figura chiusa e convessa. Di quante facce può essere costituito un angoloide? Ovviamente dipende dal poligono regolare scelto. E' facile capire però che in tutti i casi la somma degli angoli delle facce che formano l'angoloide deve essere inferiore ad un angolo giro, altrimenti la figura che ottengo sarebbe piana. Nel caso del numero minimo delle facce, cioè tre, gli angoli che formano l'angoloide devono avere un'ampiezza inferiore a 120 gradi (360:3). Poiché stiamo parlando del numero minimo di facce il limite di 120 gradi è il massimo possibile. Quindi i poligoni regolari con cui posso costruire un angoloide sono tutti e soli quelli che hanno angoli inferiori a 120 gradi: triangoli equilateri, quadrati, pentagoni. Gli esagoni raggiungono l'ampiezza di 120 gradi e tutti gli altri la superano.
Questa osservazione è cruciale perché costituisce un vincolo molto stringente. Ora, rispettando questo vincolo, posso cominciare a costruire i miei solidi platonici.
Se considero per cominciare il triangolo equilatero posso permettermi di costruire un angoloide di tre, quattro e cinque facce. Non posso andare oltre poiché nel caso di sei o più facce la somma degli angoli sarebbe pari o superiore all'angolo giro. Con tre facce ottengo un angoloide che forma automaticamente dalla parte opposta un quarto triangolo equilatero, costruendo così un tetraedro (solido a quattro facce). Con quattro facce posso costruire immediatamente una piramide a base quadrata. Questa ovviamente non è un solido platonico, ma se ne costruisco due identiche e faccio combaciare la loro base quadrata (che a quel punto diventa un elemento interno) ottengo un ottaedro (solido a otto facce). Devo solo avere l'accortezza di fare in modo che la piramide quadrata abbia l'altezza pari alla metà della sua diagonale, in tal modo mi assicuro tutti gli angoloidi uguali (tutti angoli retti tra gli spigoli opposti di ciascun angoloide). Infine con cinque facce ottengo una base pentagonale, e se mi sposto su uno dei cinque vertici di questa base mi accorgo subito che posso considerarlo il punto di partenza per costruire un altro angoloide uguale finendo di circondarlo con altri tre triangoli equilateri, e così via ottenendo alla fine una figura chiusa. D'altra parte è anche il ragionamento costruttivo che si poteva fare per il tetraedro e per l'ottaedro. Ho costruito così un icosaedro (solido a venti facce).
Considero adesso il quadrato. Non ci sono molte possibilità, posso solo costruire un angoloide con tre facce, perché quattro sarebbe l'equivalente di un angolo giro. Ma l'unico modo di mettere insieme in un angoloide tre facce di un quadrato in modo non complanare è quello di fargli formare angoli retti, che poi posso chiudere solamente con un angoloide opposto, ovviamente identico. Si forma così un esaedro (solido a sei facce) detto anche cubo.
In ultimo mi rimane il pentagono. Ovviamente anche in questo caso l'unica possibilità è quella di costruire un angoloide con sole tre facce. Più difficile da immaginare, ma anche in questo caso i lati che rimangono liberi consentono di proseguire agganciando altri pentagoni e formando altri angoloidi identici. In particolare si può anche facilmente immaginare un "fiore" di pentagoni (uno al centro e cinque petali ai lati) che si incastra perfettamente con un secondo "fiore" opposto al primo. Viene fuori un dodecaedro (solido a 12 facce).
Immaginando intuitivamente la procedura costruttiva di questi cinque solidi è anche facile convincersi che non se ne possano costruire altri. Un numero di pentagoni, o di quadrati, o di triangoli equilateri che partendo dallo stesso angoloide si incastrino per formare solidi con un numero diverso di facce da quelle appena dedotte pare effettivamente impossibile.
Questi cinque bellissimi solidi, oltre ad avere un numero molto elevato di simmetrie (l'origine della loro bellezza), hanno una relazione tra loro particolarmente interessante. In geometria, il poliedro duale di un poliedro P è un altro poliedro Q , tale che ad ogni vertice di P corrisponde una ed una sola faccia di Q . In altre parole, lo si ottiene scambiando i ruoli dei vertici e delle facce di P. Il duale di Q è di nuovo P. Dal punto di vista costruttivo preso un solido platonico si determinano i centri delle sue facce e si fanno coincidere con i vertici del solido platonico che costituisce il suo duale. In tal modo si vede molto facilmente che il duale di un esaedro (cubo) è un ottaedro (e viceversa), e il duale di un dodecaedro è un icosaedro (e viceversa). Il tetraedro è autoduale.
Nessun commento:
Posta un commento