Uno dei contributi più importanti dati da Newton alla cultura moderna è stato quello di mostrare concretamente tutta la potenza di un'indagine razionale sul mondo, che porta ad individuare una serie di principi generali e da questi ricavare schemi di calcolo deduttivi con i quali possiamo fare previsioni molto accurate. Naturalmente il contributo non è solo di Newton ma certamente con lui le capacità previsionali dell'Uomo su alcuni aspetti della Natura hanno per la prima volta fatto un balzo in avanti decisamente spettacolare. I principi sono pochi e relativamente semplici (le leggi della meccanica e la legge di gravitazione universale), gli schemi di calcolo certamente più complessi ma in buona parte affrontabili se applicati ad esempio al moto dei pianeti, i risultati sono quelli che si possono constatare utilizzando un qualunque software tra i tanti attualmente disponibili in grado di dirci ad esempio in che punto del cielo sarà la luna tra una settimana o tra un anno.
Come sempre succede nella scienza quando un approccio o un'idea funzionano in un qualche ambito si cerca di riutilizzarli ovunque sia possibile, ma ovviamente il successo non è mai garantito apriori. Semplicemente si prova e si vede come va, potrà sembrare pure banale ma la scienza alla fine funziona così. La dinamica dell'atmosfera terrestre, il cui studio porta alla questione delle previsioni del tempo, è uno di quegli ambiti in cui l'approccio descritto sopra fatica a funzionare, e per un motivo piuttosto semplice da capire: le variabili che servono per descrivere il sistema e la sua evoluzione (i suoi "gradi di libertà") sono in numero incredibilmente grande, e questo porta a delle complessità di calcolo insormontabili. Non è l'unica difficoltà, forse neanche la più interessante, ma è certamente la prima che si incontra.
E' chiaro che non ha senso continuare a sbattere in un vicolo cieco e l'abilità di uno scienziato sta anche nella capacità di inventarsi strade alternative, facendo leva su osservazioni e conoscenze di natura diversa. Ad esempio si può partire da qualcosa di più "alla buona", di più euristico, magari perchè è più facile da trattare. Purchè la cosa risulti funzionante in un qualche ambito ed entro qualche approssimazione ragionevole.
Questo è quello che voleva fare Lorenz in un suo lavoro degli anni sessanta. Non sto parlando di Hendrik Lorentz (1853 - 1928), quello delle trasformazioni di coordinate utilizzate da Einstein nella sua Teoria della Relatività Ristretta, bensì di Edward Lorenz (1917 - 2008), il metereologo pioniere della teoria del caos deterministico. Il problema che poneva era formulato in modo molto semplice: data una successione temporale di N vettori di stato determinare (prevedere) il vettore di stato N+1 senza utilizzare la regola di evoluzione, magari perchè non la si conosce o non la si sa usare nei conti (le difficoltà di cui abbiamo appena parlato). In altre parole si vuole cercare di prevedere il tempo di domani conoscendo semplicemente il tempo nei vari giorni precedenti. Per vettore di stato si intende tutti i valori delle variabili termodinamiche dell'atmosfera a disposizione in un dato momento, misurate dalle varie stazioni metereologiche funzionanti in un dato territorio. La soluzione pensata, detta "degli analoghi", poteva sembrare forse troppo semplice ma aveva il merito di poter essere utilizzata e verificata. Si trattava di andare a trovare tra tutti i vettori di stato a disposizione un vettore J il più possibile identico al vettore N. La previsione sarà quella di porre il vettore N+1 uguale al vettore J+1. Se nel passato c'è stata una situazione metereologica identica a quella che ho adesso la previsione che faccio è quella di avere un'evoluzione successiva identica a quella che si è già verificata!
Lorenz non era uno sprovveduto, sapeva che la soluzione doveva essere almeno in linea di principio praticabile, poichè aveva alle spalle un risultato teorico generale della dinamica chiamato "Teorema di Ricorrenza di Poincarè" o "Teorema del Ritorno". Secondo questo teorema l'evoluzione del nostro sistema, rappresentato sperimentalmente dalla successione dei vettori di stato, ha la caratteristica (se lo spazio in cui avviene è limitato) di "tornare" vicino quanto si vuole ad un qualsiasi vettore di stato preso come riferimento, purchè si attenda un tempo sufficiente. Questo significa proprio che se scelgo come riferimento il vettore di stato attuale andando indietro nel passato (la sua evoluzione all'indietro) troverò certamente un altro vettore di stato simile quanto voglio, basta andare indietro nel tempo quanto basta.
Il metodo però si rivelò impraticabile, soprattutto perchè contrariamente a quanto garantiva il teorema di ricorrenza era molto difficile trovare nei dati del passato dei vettori di stato sufficientemente simili a quello attuale. Perchè il metodo nella pratica non funzionava?
Quando si vuole utilizzare un teorema a fini pratici occorre sempre fare attenzione a cosa dice effettivamente. In questo caso il teorema assicura il "ritorno" della traiettoria vicino quanto si vuole ad una certa condizione di partenza ma non dice nulla sul tempo che occorre affinchè questo si verifichi. La stima di questo tempo si trova in un risultato collegato al teorema di Poincarè dovuto al matematico polacco Mark Kac (si pronuncia caz, :-)). Tale risultato è noto come "Lemma di Kac", pubblicato nel 1957. Se consideriamo un intorno grande a piacere del punto di partenza, da cui la traiettoria uscirà in conseguenza della sua evoluzione, il tempo necessario per ottenere uno stato futuro del sistema di nuovo compreso nell'intorno scelto è inversamente proporzionale alla percentuale del volume occupato dall'intorno rispetto al volume totale concesso al sistema.
La prima ovvia deduzione che si può fare è che se così stanno le cose più si vuole essere precisi nella previsione secondo il metodo di Lorenz più il tempo di ricorrenza è lungo, cioè più devo risalire indietro nel tempo per trovare uno stato sufficientemente simile a quello attuale. Ma in realtà la cosa peggiore è un'altra: in questa stima le dimensioni del sistema, cioè il numero dei suoi gradi di libertà, giocano un ruolo disastroso. Se ho un quadrato di lato 10 e l'intorno del mio punto è un quadratino di lato 1, il loro rapporto è 1/100, e il tempo di ricorrenza stimato è 100. Se però aggiungo una dimensione ho un cubo di lato 10, l'intorno del mio punto è un cubettino di lato 1 (voglio mantenere la stessa precisione), il loro rapporto diventa 1/1000 e il tempo di ricorrenza stimato diventa 1000. Le dimensioni dello spazio in cui evolve il sistema metereologico che interessava Lorenz sono di fatto tantissime in quanto dipendono dal numero di componenti del vettore di stato, cioè da tutti i valori termodinamici misurati nei vari punti di una certa regione geografica (e più sono e meglio è). Se la dimensione è molto grande il tempo di ricorrenza diventa subito molto grande, anche per valori dell'intorno non troppo piccoli. Purtroppo come è facile capire la dimensione è un parametro caratteristico del sistema, su cui non possiamo fare niente. Siamo tornati al punto di partenza, il metodo di previsione di Lorenz fallisce.
Come si sa Lorenz cambiò di nuovo strategia, si inventò un sistema dinamico semplice, matematicamente trattabile, ottenuto con varie approssimazioni, e con esso fece scoperte decisamente interessanti ...
Come sempre succede nella scienza quando un approccio o un'idea funzionano in un qualche ambito si cerca di riutilizzarli ovunque sia possibile, ma ovviamente il successo non è mai garantito apriori. Semplicemente si prova e si vede come va, potrà sembrare pure banale ma la scienza alla fine funziona così. La dinamica dell'atmosfera terrestre, il cui studio porta alla questione delle previsioni del tempo, è uno di quegli ambiti in cui l'approccio descritto sopra fatica a funzionare, e per un motivo piuttosto semplice da capire: le variabili che servono per descrivere il sistema e la sua evoluzione (i suoi "gradi di libertà") sono in numero incredibilmente grande, e questo porta a delle complessità di calcolo insormontabili. Non è l'unica difficoltà, forse neanche la più interessante, ma è certamente la prima che si incontra.
E' chiaro che non ha senso continuare a sbattere in un vicolo cieco e l'abilità di uno scienziato sta anche nella capacità di inventarsi strade alternative, facendo leva su osservazioni e conoscenze di natura diversa. Ad esempio si può partire da qualcosa di più "alla buona", di più euristico, magari perchè è più facile da trattare. Purchè la cosa risulti funzionante in un qualche ambito ed entro qualche approssimazione ragionevole.
Questo è quello che voleva fare Lorenz in un suo lavoro degli anni sessanta. Non sto parlando di Hendrik Lorentz (1853 - 1928), quello delle trasformazioni di coordinate utilizzate da Einstein nella sua Teoria della Relatività Ristretta, bensì di Edward Lorenz (1917 - 2008), il metereologo pioniere della teoria del caos deterministico. Il problema che poneva era formulato in modo molto semplice: data una successione temporale di N vettori di stato determinare (prevedere) il vettore di stato N+1 senza utilizzare la regola di evoluzione, magari perchè non la si conosce o non la si sa usare nei conti (le difficoltà di cui abbiamo appena parlato). In altre parole si vuole cercare di prevedere il tempo di domani conoscendo semplicemente il tempo nei vari giorni precedenti. Per vettore di stato si intende tutti i valori delle variabili termodinamiche dell'atmosfera a disposizione in un dato momento, misurate dalle varie stazioni metereologiche funzionanti in un dato territorio. La soluzione pensata, detta "degli analoghi", poteva sembrare forse troppo semplice ma aveva il merito di poter essere utilizzata e verificata. Si trattava di andare a trovare tra tutti i vettori di stato a disposizione un vettore J il più possibile identico al vettore N. La previsione sarà quella di porre il vettore N+1 uguale al vettore J+1. Se nel passato c'è stata una situazione metereologica identica a quella che ho adesso la previsione che faccio è quella di avere un'evoluzione successiva identica a quella che si è già verificata!
Lorenz non era uno sprovveduto, sapeva che la soluzione doveva essere almeno in linea di principio praticabile, poichè aveva alle spalle un risultato teorico generale della dinamica chiamato "Teorema di Ricorrenza di Poincarè" o "Teorema del Ritorno". Secondo questo teorema l'evoluzione del nostro sistema, rappresentato sperimentalmente dalla successione dei vettori di stato, ha la caratteristica (se lo spazio in cui avviene è limitato) di "tornare" vicino quanto si vuole ad un qualsiasi vettore di stato preso come riferimento, purchè si attenda un tempo sufficiente. Questo significa proprio che se scelgo come riferimento il vettore di stato attuale andando indietro nel passato (la sua evoluzione all'indietro) troverò certamente un altro vettore di stato simile quanto voglio, basta andare indietro nel tempo quanto basta.
Il metodo però si rivelò impraticabile, soprattutto perchè contrariamente a quanto garantiva il teorema di ricorrenza era molto difficile trovare nei dati del passato dei vettori di stato sufficientemente simili a quello attuale. Perchè il metodo nella pratica non funzionava?
Quando si vuole utilizzare un teorema a fini pratici occorre sempre fare attenzione a cosa dice effettivamente. In questo caso il teorema assicura il "ritorno" della traiettoria vicino quanto si vuole ad una certa condizione di partenza ma non dice nulla sul tempo che occorre affinchè questo si verifichi. La stima di questo tempo si trova in un risultato collegato al teorema di Poincarè dovuto al matematico polacco Mark Kac (si pronuncia caz, :-)). Tale risultato è noto come "Lemma di Kac", pubblicato nel 1957. Se consideriamo un intorno grande a piacere del punto di partenza, da cui la traiettoria uscirà in conseguenza della sua evoluzione, il tempo necessario per ottenere uno stato futuro del sistema di nuovo compreso nell'intorno scelto è inversamente proporzionale alla percentuale del volume occupato dall'intorno rispetto al volume totale concesso al sistema.
La prima ovvia deduzione che si può fare è che se così stanno le cose più si vuole essere precisi nella previsione secondo il metodo di Lorenz più il tempo di ricorrenza è lungo, cioè più devo risalire indietro nel tempo per trovare uno stato sufficientemente simile a quello attuale. Ma in realtà la cosa peggiore è un'altra: in questa stima le dimensioni del sistema, cioè il numero dei suoi gradi di libertà, giocano un ruolo disastroso. Se ho un quadrato di lato 10 e l'intorno del mio punto è un quadratino di lato 1, il loro rapporto è 1/100, e il tempo di ricorrenza stimato è 100. Se però aggiungo una dimensione ho un cubo di lato 10, l'intorno del mio punto è un cubettino di lato 1 (voglio mantenere la stessa precisione), il loro rapporto diventa 1/1000 e il tempo di ricorrenza stimato diventa 1000. Le dimensioni dello spazio in cui evolve il sistema metereologico che interessava Lorenz sono di fatto tantissime in quanto dipendono dal numero di componenti del vettore di stato, cioè da tutti i valori termodinamici misurati nei vari punti di una certa regione geografica (e più sono e meglio è). Se la dimensione è molto grande il tempo di ricorrenza diventa subito molto grande, anche per valori dell'intorno non troppo piccoli. Purtroppo come è facile capire la dimensione è un parametro caratteristico del sistema, su cui non possiamo fare niente. Siamo tornati al punto di partenza, il metodo di previsione di Lorenz fallisce.
Come si sa Lorenz cambiò di nuovo strategia, si inventò un sistema dinamico semplice, matematicamente trattabile, ottenuto con varie approssimazioni, e con esso fece scoperte decisamente interessanti ...
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