Verità e dimostrabilità

Kurt Gödel (1906-1978) passa per il più grande logico della storia insieme ad Aristotele. Mentre però Aristotele si studia regolarmente nella secondaria superiore (almeno credo) e tutti più o meno hanno un'idea di che cosa sia un sillogismo, Gödel non fa ancora parte del bagaglio culturale medio, nonostante i suoi risultati più importanti risalgano ormai a circa ottanta anni fa. Effettivamente il contenuto del suo articolo principale "On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems" (1931) è molto complicato, roba per tecnici, ma esistono molti modi (e molta letteratura) per esemplificare questo contenuto senza banalizzarlo, e sforzarsi di farlo è anche divertente. In questo post cerco di descrivere questi risultati senza neppure accennare a come ci si arriva (magari quest'ultima cosa in un altro post).

Un sistema formale si compone di:
1. un vocabolario - un catalogo completo dei segni che si usano nel calcolo.
2. una grammatica - le regole di formazione che stabiliscono quali delle combinazioni possibili dei segni del vocabolario sono formule, cioè quali stringhe di simboli sono ben formate e quali invece sono mal formate.
3. le inferenze - le regole di trasformazione (o regole di inferenza) che permettono di derivare stringhe ben formate da altre stringhe ben formate (teoremi).
4. gli assiomi - costituiscono il fondamento dell'intero sistema. Sono proposizioni primitive, vere per assunzione, punto di partenza per derivare qualsiasi altra formula.
In un sistema formale così definito un teorema è una qualsiasi formula che possa essere dedotta dagli assiomi applicando successivamente le regole di inferenza.

Riconosciamo intuitivamente che i concetti che definiscono un sistema formale sono quelli tipicamente utilizzati dalla matematica (nelle sue varie discipline). Inoltre è interessante notare che in questo contesto il concetto di verità ha una natura convenzionale e tutta interna al sistema formale stesso: sono vere tutte le formule ben formate (sintatticamente corrette) e sono veri gli assiomi (per definizione). Il concetto di verità non è rimandato al confronto con una qualche realtà esterna. Osserviamo anche che tutto quello che si può creare in questo sistema sono nuovi teoremi. In realtà verrebbero scoperti, dal momenti che sono già contenuti tutti nelle ipotesi e di queste sono conclusioni logiche necessarie. Infine è notevole il fatto che la questione dei contenuti sia irrilevante (da qui il termine sistema formale). Come mi è capitato di leggere da qualche parte "la validità delle dimostrazioni matematiche riposa sulla struttura delle affermazioni, piuttosto che sulla natura particolare del loro contenuto".

Un sistema formale ha due aspetti interessanti:
1. la coerenza - un sistema formale è coerente quando è non-contraddittorio, cioè quando in esso è impossibile, usando le regole di trasformazione, dedurre dagli assiomi una certa formula e insieme anche la sua negazione.
2. la completezza - un sistema formale è completo quando ogni verità logica esprimibile mediante il vocabolario del calcolo è anche un teorema. In un sistema del genere ogni teorema è una formula (stringa ben formata) ma è anche vero il viceversa, cioè ogni formula è un teorema, ogni formula è deducibile dagli assiomi usando le regole di inferenza. Gli assiomi sono completi, ovvero sono sufficienti a generare tutte le formule del sistema.

In altre parole dato un sistema formale come lo abbiamo definito sopra è lecito chiedersi se i teoremi che si possono dedurre non arriveranno mai a contraddirsi e se ogni cosa vera è anche dimostrabile. Ovviamente tutto ciò che è dimostrabile nel sistema è anche vero, nel senso che tutte le formule deducibili dagli assiomi (veri per definizione) saranno appunto formule, cioè stringhe di simboli del vocabolario sintatticamente corrette, dunque vere.

Quali sono i risultati di Gödel?
Il primo teorema di incompletezza afferma che se il sistema formale è non contraddittorio, quindi se è coerente, allora esiste un enunciato che non è dimostrabile in esso, ma tale che anche la sua negazione non è dimostrabile. Un enunciato del genere si dice indecidibile. Il sistema formale si dice perciò incompleto, o deduttivamente incompleto.
Il secondo teorema di incompletezza afferma che, se un sistema formale è non contraddittorio, allora l'affermazione della sua non-contradditorietà, posto che si possa scriverla, o trovarne una traduzione equivalente nel linguaggio del sistema formale stesso, non è dimostrabile nello stesso, e non è neanche refutabile, cioè è essa stessa un esempio di enunciato indecidibile.

I teoremi di Gödel pongono un limite generale al concetto di dimostrabilità. Affermano l'esistenza di formule vere non dimostrabili, e dunque l'irriducibilità della nozione di verità a quella di dimostrabilità.

"Negli ultimi secoli si era creato un diffuso convincimento che tacitamente supponeva che ogni settore del sapere matematico potesse essere corredato da un insieme di assiomi sufficienti per sviluppare sistematicamente l'infinita totalità delle proposizioni vere nell'ambito di una data area di ricerca. Il lavoro di Gödel ha dimostrato che questa ipotesi è insostenibile." (Nagel e Newmann)