Perchè la matematica

Che differenza c'è tra un tecnico che usa, configura e gestisce tutti i giorni i protocolli internet e chi a suo tempo li ha progettati? Che differenza c'è tra chi configura tutti i giorni ambienti di virtualizzazione e chi progetta un hypervisor? Che differenza c'è tra chi conosce le tipiche porte TCP da utilizzare nei filtri del traffico di rete e chi ha ideato e testato gli algoritmi che permettono il controllo di flusso e di congestione di questo stesso traffico?

In altre parole, che differenza c'è tra il mio meccanico sotto casa che mi rimette a posto l'automobile e un progettista della Ferrari? Sicuramente quest'ultimo non mi sa riparare l'automobile. Quindi non ha più conoscenze del mio meccanico, ha conoscenze diverse. E in cosa consistono queste diversità? Qual'è il punto più importante che distingue queste due conoscenze (entrambe con la loro utilità)? Su che cosa ha puntato il progettista della Ferrari rispetto al mio meccanico?

Credo che la risposta sia semplice: la teoria, le conoscenze scientifiche, l'apparato strumentale della matematica. In particolare quest'ultima cosa, la conoscenza degli strumenti matematici, fa la differenza.

Mio zio non ha avuto la possibilità di studiare molto. Per professione e per passione faceva il tecnico. Gli oggetti più frequenti con cui aveva a che fare nel suo lavoro erano circuiti stampati che realizzavano varie funzionalità. Questo prima e durante la diffusione massiccia dei circuiti integrati nel mercato dell'elettronica. Una volta non so per quale motivo (ma spesso non c'erano veri motivi) mi parlava dei tempi di carica e scarica di un condensatore e di come secondo lui questo fenomeno avveniva. Ricordo di aver osservato con chiarezza che gli mancava il linguaggio matematico corretto e che questo gli impediva letteralmente di arrivare a descrivere con precisione il fenomeno. Ricordo anche che sì stupì molto quando con pochi passaggi gli scrissi l'andamento esatto della funzione di carica (è un semplice esercizio di fisica generale), che guarda caso dava risultati numerici in linea con i suoi "dati sperimentali". Non ci sarebbe potuto arrivare, non aveva gli strumenti matematici appropriati. Senza di essi la sua elettronica era monca, nonostante la sua curiosità e la sua passione. Togli il pezzo, metti il pezzo, comprane un altro, sostituiscilo. Armamentario che gli permetteva di risolvere brillantemente un gran numero di problemi ma che lo costringeva ad avere una conoscenza complessivamente modesta della sua materia.

La società ovviamente ha bisogno sia del meccanico sotto casa che del progettista della Ferrari, sia del tecnico che ripara un computer sia di chi progetta una qualsiasi tecnologia informatica (tra cui il computer). Ma quando si dice che in Italia la ricerca scientifica e tecnologica non è adeguatamente finanziata nonostante la sua importanza si parla dei secondi e non dei primi.

E' vero che la conoscenza dell'inglese è fondamentale nella società moderna, e indubbiamente i nostri bambini la dovranno coltivare, ma se puntiamo solo su quella un giorno potranno emigrare in un paese di lingua anglosassone per andare a vendere i panini al McDonald. Non possiamo diventare un paese di camerieri esterofili che comprano telefonini. La tecnologia del futuro la farà chi avrà coltivato le conoscenze matematiche (e scientifiche in generale), gli altri faranno gli operai della tecnologia o i semplici utilizzatori finali. Questo sta già succedendo.

Lavorare meno, lavorare tutti?

"Lavorare meno, lavorare tutti" è uno slogan che nel passato mi ha affascinato ma credo che oggi non lo posso più accettare come qualcosa che abbia dietro un'idea di società funzionante. Rimane uno slogan vuoto da tirar fuori ogni tanto per rimarcare un difetto reale del nostro mercato del lavoro, quello che costringe al superlavoro una percentuale minoritaria di persone competenti. Nel passato (e forse un po' ancora oggi) il superlavoro qualificato è stato alimentato (e celebrato) da modelli culturali discutibili. Ma lo slogan di cui sopra non ha speranza di risolvere il problema.

Lavorare bene, giustificare il proprio stipendio all'interno del sistema produttivo in cui si opera, a qualunque livello, dal negozietto alla grande azienda, dare al proprio lavoro la qualità che merita. E ricevere il giusto compenso per quello che si fa. Anche questi sono valori importanti, per l'individuo e per la società di cui fa parte. Il lavoro è uno di quei valori fondanti di una società (non a caso ce lo abbiamo nella Costituzione) per cui andrebbe sempre usato il doppio termine "diritto/dovere". Se chiunque ha il diritto di lavorare ha anche il dovere di farlo al meglio delle sue possibilità. E la società glielo deve riconoscere. Questo è il meccanismo su cui la società dovrebbe puntare.

Troppo spesso mi è capitato di verificare a vari livelli che la qualità del lavoro non venga sufficientemente riconosciuta, non solo economicamente ma neanche come fatto moralmente e culturalmente importante. Credo che in Italia purtroppo le competenze tecniche elevate risultino troppo spesso perlopiù inutili dal punto di vista professionale. Nel senso che troppo spesso se sei mediocre, bravo o bravissimo può non fare una grossa differenza ai fini della collocazione professionale, della soddisfazione, del riconoscimento e, ovviamente, dello stipendio. Questo significa non solo aver costruito un sistema produttivo e un mercato del lavoro dove il merito non viene considerato come dovrebbe ma che addirittura il sistema può ragionevolmente essere definito "de-meritocratico", in cui il merito risulta essere addirittura un fatto sconveniente.

Il nostro sistema produttivo è adatto a figure mediocri che occupano un posto, svolgono mansioni di routine, di tipo burocratico, dove la responsabilità di quello che si fa è sistematicamente mascherata o mascherabile, insomma non in evidenza. Le persone che attualmente hanno meno problemi sono queste, sebbene la crisi stia probabilmente cambiando in parte le cose, e questo è forse il suo unico aspetto positivo. Effettivamente si tratta di un aspetto culturale profondo che probabilmente solo una crisi profonda del sistema potrebbe cambiare. Ed è un aspetto che viene colto bene solo da chi tenta di lavorare con un alto livello di qualità e professionalità.

Non so se il concetto di "mercato" sia criticabile e se è possibile una società diversa, ma sta di fatto che almeno in Italia probabilmente il problema peggiore è che questo concetto è stato applicato troppo raramente. Una buona parte di "professionisti" e "imprenditori" per anni hanno lavorato, e continuano a farlo, non con le regole del mercato ma attraverso una rete di "amicizie" e di rapporti (ruffiani) di potere che hanno l'effetto di mettere in un piano di assoluta trascurabilità la qualità delle vere e proprie prestazioni professionali. Questa cosa è talmente diffusa che forse risulta anche impossibile per molti evitarla.

Lo slogan "lavorare meno, lavorare tutti" non contiene un elemento che per me è diventato essenziale: la qualità del nostro lavoro. Dunque non lo posso accettare. Anzi, il valore di uguaglianza a cui questo slogan punta (e che lo rende affascinante) gli dà purtroppo un contenuto di irrealtà evidente (che me lo rende fastidioso). Non si può distribuire il lavoro in egual misura, indistintamente, perchè non si può tradurre il lavoro in "ore lavorative". Forse tutto questo conserva un senso ben preciso solo nelle grandi fabbriche, e solo per le figure professionali di minor qualifica. Ma di questi ambienti non ho esperienza.

Caso e superstizione

Il caso è un concetto che ha due caratteristiche interessanti: si è inserito in maniera sempre più pervasiva nello sviluppo della scienza moderna ed è estremamente ostico da digerire.

Il caso è entrato nella descrizione di tantissimi fenomeni fisici, il concetto di probabilità si è dimostrato un concetto estremamente fecondo e il calcolo delle probabilità è oggi presente in quasi tutti i campi della fisica. L'approccio probabilistico ha dato frutti notevoli ogni volta che la descrizione deterministica non era più praticabile, soprattutto nell'affrontare la modellizzazione di fenomeni complessi, quelli con un elevato numero di gradi di libertà. Il caso entra non solo nella trattazione statistica dei fenomeni complessi ma anche in quella di tutti i fenomeni quantistici, quindi nella chimica come nella biologia.

Tuttavia il caso è anche un concetto che ci appare infecondo, privo di significato, poco interessante, e questo probabilmente perché non si lega ai meccanismi di causa-effetto che hanno da sempre giocato un ruolo principale nella nostra comprensione del mondo. Noi tendiamo ad associare qualunque evento ad una qualche causa. E' un istinto molto forte e antico che probabilmente genera in noi il concetto di destino e ispira le concezioni finalistiche del mondo.

Molto probabilmente questo istinto oltre a renderci inaccettabile il concetto di caso è anche alla base di molti atteggiamenti superstiziosi, dove per superstizione si intende la tendenza ad associare coppie di eventi attraverso relazioni di causa-effetto che non hanno nessun fondamento razionale.

E' molto interessante constatare che questa cosa è probabilmente una caratteristica non solo umana, bensì condivisa anche da altre specie (dunque un istinto ancestrale). Tempo fa un mio amico mi ha raccontato di un esperimento fatto con i piccioni, facilmente reperibile su Internet, che rende esplicito proprio questo fatto. L'esperimento mostra il seguente risultato, curioso e istruttivo: se si apre un varco per il cibo in conseguenza di un preciso comportamento (tipo "sbattere le ali") il piccione impara e lo ripete ogni volta che vuole ottenere cibo. Se invece gli si apre il varco a caso il piccione tende a ripetere il primo comportamento avuto casualmente all'apertura del varco (tipo "sbattere le ali") e ogni volta che riottiene casualmente questa coincidenza rafforza questo suo comportamento "superstizioso".

I logaritmi del sor Pompilio

Era un periodo in cui passeggiavamo spesso sotto casa. A volte incontravamo il sor Pompilio, un nostro vicino, un anziano signore che conosceva i nostri genitori. Lo salutavamo e qualche volta facevamo due chiacchiere di circostanza. Una di queste volte ci fa una domanda strana: "Ma voi che studiate, mi sapreste dire che cosa sono i logaritmi? E a che cosa servono?". Noi effettivamente all'epoca studiavamo, eravamo due liceali, avevamo già avuto a che fare con i logaritmi, ma francamente non sapevamo come rispondergli, e a dir la verità la cosa ci appariva piuttosto comica. Il bello è che questa situazione se non ricordo male si ripropose più di una volta e noi ovviamente, sebbene ci divertissimo, non abbiamo mai soddisfatto questa sua curiosità.

Adesso provo a spiegare al sor Pompilio cosa sono i logaritmi e a cosa servono, sebbene per lui questa mia spiegazione arrivi in netto ritardo ...

Supponiamo che si debba moltiplicare 100 per 1000. Come si impara già dalle scuole elementari questa cosa si può fare molto facilmente contando gli zeri dei due numeri e sommandoli, il risultato sarà 100000. Supponiamo invece di dover dividere 100000 per 100. Anche in questo caso trovare il risultato è semplice, basta fare la differenza degli zeri. Si può esprimere questa cosa più efficacemente attraverso le potenze: 10^2*10^3=10^5 per la moltiplicazione e 10^5/10^2=10^3 per la divisione. In altre parole per moltiplicare si sommano gli esponenti, per dividere si sottraggono; in tal modo si riduce una moltiplicazione in una somma e una divisione in una differenza. Gli esponenti che stiamo sommando o sottraendo si dicono "logaritmi" dei numeri che moltiplichiamo o dividiamo.

Si può provare a generalizzare in questo modo: supponiamo di dover moltiplicare due fattori qualsiasi A e B. Possiamo pensare di rappresentarli attraverso due opportune potenze di 10 e scrivere: A*B=10^a*10^b=10^(a+b). Analogamente per la loro divisione. Abbiamo così ridotto il calcolo di una moltiplicazione/divisione di una qualunque coppia di numeri in quello di una addizione/sottrazione dei loro logaritmi. Se riuscissimo a scrivere tutti i numeri (o quasi tutti i numeri) come potenze di una base scelta (ad esempio il 10) avremmo un vero e proprio strumento di calcolo. Questo strumento è esistito e si chiamava "tavola dei logaritmi" (e consentiva di calcolare facilmente anche potenze e radici). Se poi addirittura riuscissimo a costruire delle aste scorrevoli con scale graduade in cui ogni numero è espresso con un segmento proporzionale al suo logaritmo avremmo una calcolatrice che moltiplica e divide semplicemente sommando o sottraendo segmenti. Questa calcolatrice è esistita e si chiamava "regolo calcolatore" (e permetteva di calcolare anche quadrati, cubi, radici, potenze, funzioni trigonometriche, ecc.).

I logaritmi, sebbene abbiano attualmente innumerevoli applicazioni in tutte le discipline scientifiche, come strumento di calcolo sono stati completamente superati dal calcolo automatico digitale odierno. Ma hanno assistito le capacità di calcolo manuali dell'uomo dal momento della  loro prima introduzione nel 1614 ad opera di John Neper (Giovanni Nepero) fino agli anni in cui il sor Pompilio era un ragazzo come lo eravamo noi all'epoca della sua curiosa domanda.

Diseducazione alla conoscenza

L'anno scorso mio figlio studiava la storia dell'universo e della terra per arrivare a fine anno scolastico allo studio della preistoria dell'uomo e quindi alla sua storia, che ha cominciato quest'anno. Mentre studiavamo insieme la Pangea mi è venuta l'idea di poter collegare l'argomento al Big Bang che avevamo studiato qualche tempo prima, o meglio di trovare con esso delle analogie.

Come facciamo a sapere che tanto tempo fa esisteva la Pangea? E come facciamo a sapere che c'è stato il Big Bang? Prima analogia: di fatto non lo sappiamo, nessuno c'era all'epoca, non solo non c'eravamo noi ma nessuno dei nostri antenati, e nel caso del Big Bang nessun essere vivente. Quello che possiamo fare in entrambi i casi sono delle ipotesi, che tali rimarranno. E' il meglio che possiamo fare. Il mio primo intento era quello di far capire che nelle nostre conoscenze non c'è nessuna infallibilità, al contrario di quello che certe volte sembrerebbe, perlomeno nei modi istituzionali di comunicare la conoscenza scientifica.

Come facciamo a fare queste ipotesi tanto affascinanti? Seconda analogia: perchè sono ipotesi basate su fenomeni che osserviamo tuttora, la deriva dei continenti e l'espansione dell'universo. Quello che sappiamo e che misuriamo è lo spostamento progressivo anche se lentissimo dei continenti in direzioni ben precise che estrapolate a ritroso nel tempo ci informano sulla possibilità che circa 200 milioni di anni fa esisteva un'unica terra emersa che chiamiamo Pangea. Quello che sappiamo è che le galassie si stanno allontanando le une dalle altre con velocità ben precise e questo ci permette di ipotizzare un momento nel tempo (circa 13 miliardi di anni fa) in cui tutta la materia dell'universo era concentrata, un po' come la Pangea. Il mio secondo intento era quello di mostrare che la conoscenza si basa su ragionamenti semplici applicati spesso allo stesso modo in contesti del tutto diversi, e che sotto non c'è niente di astruso o di imperscrutabile. Il mistero è nella Natura, non nelle spiegazioni che diamo di essa.

Volevo che in qualche modo quei raccontini che mio figlio leggeva nel suo libro di testo fossero percepiti come una conoscenza costruita razionalmente, con tutti i suoi ingredienti, fallibilità inclusa. Volevo che quelle cose gli apparissero sostanzialmente diverse da semplici storie. Il libro di scienze è diverso dal libro di lettura.

Poi però succede un imprevisto. Mentre stiamo parlando del Big Bang mio figlio improvvisamente aggiunge: "è ovvio che ci deve essere qualche essere superiore che ha creato il Big Bang". Lo dice come nozione ovvia, come qualcosa che ha imparato da qualche parte e che mi ripete adesso, con una certa soddisfazione. Parlando con lui scopro che hanno parlato di questo durante l'ora di religione.

La cosa mi ha provocato una certa irritazione, mi ha dato l'impressione sconfortante che mentre il mio ragionamento veniva assimilato a fatica (con qualche difficoltà di concentrazione) quello elaborato durante l'ora di religione avesse fatto presa immediata. Eppure questa ovvietà di cui parlava mio figlio di ovvio non aveva proprio nulla. Che cosa è ovvio? Che prima del Big Bang ci deve essere stato qualcosa che l'ha causato? Cosa ci vogliamo fare con questo giochetto della catena di causa-effetto? La birra?

E anche quell'insegnante di religione, caspita! Oltre ad essere una finta deduzione che disabitua al ragionamento e al processo di conoscenza razionale, si tratta di un comportamento addirittura disonesto, ideologicamente orientato, in quanto rivolto a menti estremamente predisposte alla ricezione acritica. La disonestà sta soprattutto nell'utilizzare una conoscenza reale, per quanto debole, incerta e problematica, per agganciarci in maniera gratuita una propria "verità" indeducibile dai fatti.

Mi è venuto anche in mente quanto certe teorie scientifiche si prestino involontariamente all'idea della creazione ed è forse proprio per questo che si radicano così bene nella coscienza delle persone, e quanto questo non sia vero invece per altre e altrettanto importanti teorie. Dietro ci sono concezioni filosofiche o ideologie con cui la scienza inevitabilmente si intreccia. E' curioso ad esempio come le persone che ritengono assurda e inaccettabile la teoria dell'evoluzione, in particolare applicata all'uomo (volgarmente non accettano l'idea che "l'uomo discenda dalla scimmia") poi generalmente tendono ad accettare senza troppi problemi la teoria del Big Bang. E' ovvio che quest'ultima è una teoria certamente più problematica dal punto di vista teorico, certamente molto meno avvalorata dall'evidenza sperimentale e sicuramente molto più difficile da comprendere per un uomo di media cultura. Quindi il rifiuto categorico dell'evoluzione biologica dell'uomo, come forse l'accettazione molto facile della teoria del Big Bang, sono il risultato di una posizione ideologica.

Distinguere le ipotesi scientifiche dalle concezioni filosofiche o dalle ideologie o dalle religioni (pur frequentandole tutte e pur nella convinzione che storicamente si sviluppano tutte assieme) dovrebbe essere un traguardo culturale da perseguire fin dai primi anni di studio. Confonderle è la peggior cosa.

La famiglia in uno stato liberale

In questi ultimi tempi vari Stati stanno definendo leggi sulla convivenza di coppia che tutelano la convivenza omosessuale portandola sullo stesso piano giuridico di quella eterosessuale, comprendendo anche la possibilità di adozione. Il dibattito è in buona parte condizionato dalla morale religiosa e in questo senso tutte le grandi religioni monoteiste sembrano convergere. E' di oggi la notizia che a Parigi sono scesi in piazza contro il progetto di legge del governo che prevede il matrimonio e l'adozione per le coppie omosessuali sia le associazioni cattoliche che quelle musulmane ed ebraiche. Anche se in realtà le manifestazioni in questione hanno avuto una partecipazione molto variegata e non necessariamente legata ad orientamenti religiosi.

Un punto importante di tutta la questione, su cui convergono le varie associazioni organizzatrici, di ispirazione religiosa o laica, sembra essere l'importanza dell'identità biologica della famiglia e il pericolo di destabilizzazione sociale che conseguirebbe ad una sua interpretazione meno biologicamente ortodossa. Il riferimento principale è ovviamente alla possibilità di adozione. Mi domando: la famiglia ha un fondamento biologico? O meglio, la famiglia si giustifica (e quindi si definisce, anche in senso giuridico) essenzialmente per il suo carattere biologico? E quale sarebbe questo carattere? La possibilità di procreare in senso stretto oppure più in generale la possibilità di offrire cure parentali?

Per me la famiglia è principalmente un nucleo sociale dove poter far crescere i bambini garantendo loro stabilità affettiva, sicurezza, educazione. In questo senso una coppia omosessuale non è meno famiglia di una coppia eterosessuale. Anche un single può essere una famiglia. Probabilmente è anche più facile che un bambino un giorno formi una famiglia se è vissuto con una coppia omosessuale unita piuttosto che con una coppia eterosessuale separata. E' ragionevole pensare che la coppia omosessuale unita gli abbia trasmesso più facilmente l'importanza e il valore della famiglia, mentre quella eterosessuale separata gli possa aver forse insegnato che si può vivere senza un nucleo familiare stabile, oppure che si può vivere e crescere in più nuclei familiari. E anche in quest'ultimo caso quella stabilità e sicurezza affettiva tanto importanti per la formazione del carattere di un individuo può comunque ancora essere garantita.

Inoltre per me la famiglia è un nucleo sociale che attiene alla sfera privata dei cittadini. Lo Stato non ha il compito di definire in modo ideale e aprioristico questo nucleo, appellandosi ad una morale di riferimento, ma deve dare al cittadino la possibilità di definirselo da solo. L'esercizio di questa libertà è fondamentale. Lo Stato non deve tutelare un concetto astratto di famiglia (neanche in senso biologico), deve tutelare la libertà del cittadino nel dare vita a questo concetto in tutte le forme che rispettino la libertà altrui.

In tutto questo l'unico vero diritto del bambino è quello di crescere in un ambiente dove può ricevere affetto, sicurezza ed educazione.

La prova del nove

In terza elementare si completa lo studio delle quattro operazioni. I bambini imparano gli algoritmi per sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere. Gli esercizi vengono spesso accompagnati da una verifica sul conto svolto che normalmente consiste nell'applicare l'operazione inversa per ricavare il primo operando a partire dal secondo operando e dal risultato ottenuto. Ad esempio si moltiplica il quoziente per il divisore e si aggiunge il resto (se c'è) per riottenere il dividendo.

La verifica sulla moltiplicazione però è di natura diversa. Viene chiamata "prova del nove" e consiste nel fare la somma delle cifre per ciascun operando e per il risultato ottenuto (iterando questa somma fino ad ottenere un numero ad una sola cifra) e verificando che le cifre risultanti nelle due parti dell'uguaglianza siano le stesse. Per esempio la moltiplicazione 125x47=5875 equivale a (1+2+5)x(4+7)=8x11, 8x(1+1)=16, 1+6=7 per i due operandi e 5+8+7+5=25, 2+5=7 per il risultato.

Ho notato, osservando mio figlio l'anno passato o ricordando me stesso all'epoca, che un bambino impara velocemente il metodo ma non si fa nessuna domanda sul perchè funzioni e su che logica c'è sotto. Non voglio dire che non arriva a capire perchè funzioni, voglio dire che proprio non si pone il problema. Ho fatto io la domanda a mio figlio ma credo che non l'abbia neppure capita, cioè non abbia colto il senso del farsi una domanda del genere. Sono sicuro che se avessi insistito su questo punto avrei ottenuto al massimo la sua compiacenza.

Questo fatto mi appare notevole in quanto non credo che per porsi un problema del genere ci sia bisogno di uno strato culturale tipico dell'adulto, e che ovviamente un bambino non potrebbe avere. Posso sbagliarmi ma credo che dipenda esclusivamente dal grado di maturità intellettiva. Ciò mette in evidenza come certe capacità logico matematiche (come altri aspetti dell'intelligenza) abbiano bisogno di tempo per maturare nel cervello di una persona.

Fornire stimoli al cervello è sicuramente sempre molto importante ma forse lo è anche il fatto che certi stimoli arrivino al momento giusto, che trovino cioè un terreno fisiologico pronto. Mi pare un aspetto forse scontato ma cruciale nell'educazione di una persona.

Nota: la prova del nove non viene spiegata ai bambini che la usano perchè (in questo caso si) non possono avere ancora gli strumenti culturali per comprenderla. La sua spiegazione sta nell'aritmetica modulare, sommare le cifre degli operandi è equivalente a passare ad una rappresentazione modulo 9 dove vale, tra le altre, una relazione del tipo Amod9xBmod9=(AxB)mod9. La prova del nove è ovviamente una condizione necessaria ma non sufficiente.